想学好数学的同学转( 知识点4)

更新: 2016-02-17 07:40 编辑:生活经验

必修五和选修2-1的知识点

3. 数系的扩充与复数的引入

  (约4课时)

  (1)在问题情境中了解数系的扩充过程,体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程理论)在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。

  (2)理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。

  (3)了解复数的代数表示法及其几何意义。

  (4)能进行复数代数形式的四则运算,了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。。

  参考案例

  例1.一个物体依照 规律在直线上运动,我们已经知道,其在某一时刻 的运动速度 (即瞬时速度或瞬时变化率)为 在 时刻的导数,即 。今考虑 在到之间位置的总变化。我们把区间 分割成n个小区间,不妨假设小区间的长度相等,其长度为。对每一个小区间,我们假设的变化率近似为某一常量,于是我们可以说

  的变化率×时间。

  在第一个小区间内,即从 到 ,假设 的变化率近似地为 ,于是有

  同样,对第二个小区间,即从 到 ,假设 的变化率近似地为 ,因此有

  等等。把在所有小区间上得到的位置变化近似值全部加在一起,得到

  s的总变化

  我们可以把 在 到 之间位置的总变化写成 。另一方面,当分割无限加细、n趋于无穷时,和式

  的极限就是定积分 或 ,也就是 在 到 之间位置的总变化。于是,我们可得到以下结论:

  也就是说,变化率的定积分给出了总的变化。

  特别地,当物体作匀速运动时,即 时,

  当物体作匀加速运动时,即 (其中 是常数)时,

  一般地,如果 是连续函数,并且 ,那么

  这就是微积分基本定理。这里给出的并不是非常严格的证明,但是,它反映了微积分基本定理的基本思想,反映了微分(导数)与积分的联系。